命題１１
２つの平方数の間に１つの比例中項があり、平方数は平方数に対して、辺が辺に対する比の２乗の比をもつ。
AとBを平方数とし、CをAの辺、DをBの辺とせよ。
AとBの間に１つの比例中項があり、AはBに対し、CがDに対する比の２乗の比をもつと主張する。
CにDをかけてEを作るとする。
今、Aは平方数でCはその辺なので、それゆえに、Cはそれ自身をかけてAを作る。
同じ理由で、Dはそれ自身をかけてBを作る。
そのとき、CはC、Dをかけて、それぞれAとEを作るので、それゆえに、CはDに対して、AはEに対する。propositionⅦ１７
同じ理由で、CはDに対して、EはBに対する。
それゆえに、AはEに対して、EはBに対する。propositionⅦ１８
それゆえに、AとBの間に１つの比例中項がある。
次に、AもまたBに対して、CがDに対してもつ比の２乗の比をもつと主張する。
A、E、Bは比例する３つの数なので、それゆえに、AはBに対して、AがEに対してもつ比の２乗の比をもつ。definitionⅤ９
しかし、AはEに対して、CはDに対する。
それゆえに、AはBに対して、CはDに対してもつ比の２乗の比をもつ。
それゆえに、２つの平方数の間に１つの比例中項があり、平方数は平方数に対して、辺が辺に対する比の２乗の比をもつ。
証明終了